7-2 Matemáticas

 7-2 Matematicas

I.E. ALFREDO BONILLA MONTAÑO 7-2 MATEMÁTICAS 

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ID de reunión: 936 6553 1113

Código de acceso: Cn2J7p

correo electrónico : consueloarroyavematematicas@gmail.com

Guía Diagnóstica 

Recordemos y apliquemos lo aprendido hasta el momento, para ello debes ingresar al link adjunto y desarrollar en el cuaderno cada punto en clase, después enviar al correo electrónico.

                                 

Semana del 23 al 26 de marzo de 2021

¿Qué son los números enteros?

Se conoce como números enteros o simplemente enteros al conjunto numérico que contiene a la totalidad de los números naturales, a sus inversos negativos y al cero. Este conjunto numérico se designa mediante la letra Z, proveniente del vocablo alemán zahlen (“números”).

De esta manera, los enteros positivos son mayores hacia la derecha, mientras que los negativos son cada vez más pequeños a medida que avanzamos a la izquierda..

También puede hablarse del valor absoluto de un número entero (representado entre barras |z|), que es equivalente a la distancia entre su ubicación dentro de la recta numérica y el cero, independientemente de su signo: |5| es el valor absoluto de +5 o -5

COMO SUMAR Y RESTAR NÚMEROS ENTEROS video

SITUACIONES PROBLEMICAS:

A. Daniel tiene en su cuenta de Ahorros un saldo inicial de $300.000 y su papá le consigna $100.000. La siguiente semana Daniel retira $220.450 y 3 días después consigna $500.000. Si Daniel retira $1.000.000, dado que el banco le presta el dinero faltante para completar esta cantidad. ¿Cuánto dinero tenía Daniel en la cuenta de ahorros  antes del último retiro y cuánto dinero le prestó el banco?

B. En Nueva York la temperatura a las 6 A.M. es de -2 °C y a las 8 A.M. es de 6°C, ¿Cuál es la diferencia entre las temperaturas de Nueva York a  las 6 A.M. y las 8 A.M.

PROPIEDADES EN LA SUMA DE NUMEROS Z

Propiedad Clausurativa:

Cuando se adicionan 2 o más números enteros, el resultado tambien es un número entero.

(-7) + 6 = -1

Propiedad Conmutativa: 

Tomemos varios pares números enteros a y b y efectuemos las sumas a + b y b + a 

(-9)+(-5)= -14       y (-5) +(-9)= -14

La propiedad conmutativa se cumple para la adición de números enteros ; es decir, el orden de los sumandos no altera la suma. En general, si a y b Z, se cumple que a+b = b+a .

Propiedad Asociativa: 

Tomemos varias ternas de números enteros a, b y c, como no se pueden sumar simultáneamente tres números, entonces agrupémoslos en diferente forma para realizar la suma y así comprobar que la forma como se agrupen los números no altera el resultado de la suma.

 [(-8)+(-5)]+(-6)                    (-8)+[(-5)+(-6)] 

      (-13)+(-6)                              (-8)+(-11)

           -19                                         -19 

En general, si a,b y c Z, se cumple que [a+b]+c = a+[b+c] ; es decir al agrupar los sumandos en diferente orden, el resultado es el mismo.

Propiedad Modulativa:

En general, si a Z, se cumple que a+0=0+a =a; es decir al sumar cualquier número entero a con el cero el resultado da el mismo número entero a.

Elemento neutro:  Tomemos tres números enteros, sumemos a cada uno el cero; así:

 (-9)+0 =-9              32+0 = 32                   0+(-81)=-81

Propiedad Invertiva:

Al adicionar un numero con su opuesto el resultado es cero (0) = - 80 + 80 = 0 

Elemento opuesto: En el conjunto Z,  todo número entero a tiene su opuesto, un número es el opuesto de otro si sumados da cero. Si a es un número entero entonces -a es su opuesto.

¿Cuál es el opuesto de +15? es -15 

¿Cuál es el opuesto de -80? es +80

PROPIEDADES DE LA SUSTRACCIÓN EN NÚMEROS Z

Clausurativa: En la resta de dos números enteros el resultado también es un numero entero.

( -4) – (-7) = 3

(-4) – (7 )     = -11

Propiedad de diferencia nula: Adicionar o sustraer un mismo número al minuendo y al sustraendo no cambia la resta.

(-5) -6 = -11

Si adicionamos el numero -3 entonces ...

(-5) +(-3) – (6 + (-3)) = -8 – 3 = -11 Observemos que da el mismo resultado

Abril 12 de 2021

TALLER DE SUMAS Y RESTAS NUMEROS ENTEROS

Abril 26 de 2021

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN NÚMEROS ENTEROS

MULTIPLICACION EN NUMEROS ENTEROS -VIDEO

REGLA DE LOS SIGNOS 

Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos; si los dos factores tienen igual signo, el producto es positivo, y si los dos factores tienen distinto signo, el producto es negativo. 

Ejemplos: 
(+3) · (+7) = +21 
(+3) · (-7) = -21
(-3) · (-7) = +21
(-3) · (+7) = -21

CALCULA
(+5) · (-3) = 
(+7) · (-6) =
 (-9) · (-5) = 
(-8) · (-7) = 
(+5) · (-10) =
(-7) · (-12) = 
Propiedades de la multiplicación de números enteros.

Realiza la lectura sobre "Propiedades de la Multiplicación en números enteros"

Como la multiplicación de números naturales, la multiplicación de números enteros tiene las propiedades: conmutativa, asociativa, existencia del elemento neutro, factor cero o elemento absorbente, distributiva respecto a la suma. 

Propiedad Conmutativa:

Tomemos varios pares números enteros a y b y efectuemos los productos a . b y b . a

 (-9).(-5)= 45 y (-5) .(-9)= 45 
7.(-13) = -91 y -13 . 7 = -91

La propiedad conmutativa se cumple para la multiplicación de los números ;es decir, el orden de los factores no altera el producto. En general, si a y b Z, se cumple que ab = ba . (ab se lee el valor numérico de a por el valor numérico de b y ba se lee el valor numérico b por el valor numérico de a)

Propiedad Asociativa: 
Tomemos varias ternas de números enteros a, b y c, como no se pueden multiplicar simultáneamente tres números, entonces agrupémoslos en diferente forma para realizar el producto y así comprobar que la forma como se agrupen los números no altera el resultado del producto.
 [(-8).(-5)]  .(-6)                         (-8).[(-5).(-6)]
      (40).(-6)                                  (-8).(30)
         -240                                         -240 
En general, si a,b y c Z, se cumple que (ab)c = a(bc) ; es decir al agrupar los factores en diferente orden, el resultado es el mismo.

Elemento neutro: 
Tomemos tres números enteros, multipliquemos cada uno por 1, así:

 (-9).1 =-9                           32.1 = 32                           1.(-81)=-81

En general, si a Z, se cumple que a.1=1.a =a; es decir al multiplicar cualquier número entero a con el uno el resultado da el mismo número entero a.

Factor Nulo o elemento absorbente: 

Tomemos tres números enteros, multipliquemos cada uno por cero, así:

 (-8).0 =0             32.0 = 0           0.(-81)=0     0.(-8) =0 

En general, si a Z, se cumple que a.0=0. a=0; es decir al multiplicar cualquier número entero a con el cero el resultado da cero.

Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma algebraica.

En el conjunto Z de los números enteros se cumple la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma algebraica.

 5.( 9+12) = 5.9 +5.12 = 45+ 60 = 105

 (9+ 12).5 = 9.5 + 12 .5 = 45 + 60 = 105

En general, si a,b y c Z, se cumple que a.(b+c) = a.b+a.c

 Completa las siguientes igualdades e indica la propiedad que ha sido aplicada

 1.)   -8.(-16)=   128       (-16) .(-8) = 128   Propiedad Conmutativa

 2)    -85. 0  =0                                          Propiedad elemento nulo

 3.)     (-15).(9). ____ =(-15).[9.(-18)] 

4.)     8 . ____ =8 

5.)     ____.(-99)=-99 

6.)     (-8+9).____ = 16-18=-2 

7.)    -14 . ____ = 17 . _____ 

8.)    a . ____=____. a=0

9.)    b.___= ____.b = b 

10.)    -15.(-8+____)  =______ +30

Desarrolla en el cuaderno:

1. Calcula los productos indicados en cada literal 

1. (-5) x 5 =                          C.  -11 x ( -5)      =
2. 6 x 7    =                          D.   (-10) x ( -7) =

Realizar en parejas y socializar en clase:

Se tienen 84 unidades del material A y 60 unidades del material B para fabricar artesanías. Se requiere que cada artesanía tenga material A o material B, pero que toda la producción tenga la misma cantidad de unidades de material por artesanía. Determinar la cantidad de cada material que se debe usar por artesanía para que no sobre ni falte ninguna unidad de material y se pueda fabricar con la mayor cantidad de material, cada uno.

Propiedades de la división de números enteros

1.Una de las propiedades más importantes de la división de números enteros, es que el resultado a veces sale del conjunto de los enteros , y se generan elementos racionales , a esta propiedad se le conoce como no cerradura en  bajo división.

Por ejemplo, si realizamos la siguiente división de enteros, observemos que el resultado ya no es un entero

 

 

2.Una características que tiene la división de enteros es que no es conmutativa, es decir, intercambiar al dividendo y al divisor entre ellos, se genera un nuevo número. Recordemos que la propiedad de conmutatividad se refiere a que no importa el orden en que se pongan los números el resultado es siempre el mismo. 

Por ejemplo, si intercambiamos al dividendo con el divisor, no queda el mismo resultado 

 es decir 

 

3.Cuando uno de los enteros es el cero debemos tener cuidado ya que se puede generar alguna indeterminación, veamos los tres casos

• Si el numerador vale cero y el denominador es distinto de cero, entonces el resultado es cero
• Si el numerador es distinto de cero y el denominador es cero, entonces la fracción no esta definida, no existe
• Si tanto el numerador como el denominador son cero, entonces la fracción está indeterminada

 

4Cuando la división de dos enteros resulta otro entero, es decir que la división es exacta, significa que el numerador es igual al denominador por el cociente

 Si , y la división no es exacta entonces

 

5Cuando la división de dos enteros no es exacta significa que el numerador es igual a el cociente por el denominador mas el residuo

 Si  y  entonces

 

TALLER MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN NÚMEROS ENTEROS

POBLACION Y MUESTRA

Población se refiere al universo, conjunto o totalidad de elementos sobre los que se investiga o hacen estudios. 

Muestra es una parte o subconjunto de elementos que se seleccionan previamente de una población para realizar un estudio

Variables:

Las variables cualitativas se refieren a características o cualidades que no pueden ser medidas con números.

Una variable cuantitativa es la que se expresa mediante un número, por tanto se pueden realizar operaciones aritméticas con ella.

CONCEPTOS BASICOS EN ESTADISTICA VIDEO

Población: Libros de matemáticas 

Variable	Tipo de Variable	Datos estadísticos
Número de Páginas	Cuantitativa	300 paginas
Autor	Cualitativa	Mariano Perez
Editorial	Cualitativa	Norma
Peso	Cuantitativa	100 gr
Año de Publicación	Cuantitativa	2020

 

  

julio 12 de 2021

ACTIVIDAD 

1.Identifica la población y la muestra estadística en cada una de las situaciones planteadas:

 

A.      Para determinar los gustos de los usuarios de una plataforma de televisión por suscripción, se envía una encuesta a algunos de los usuarios.

Población:

Muestra:

 

B.      Una firma encuestadora busca determinar quién de los cinco candidatos para alcalde tiene mayor posibilidad de ganar las elecciones, para esto encuesta a mil personas con edad para votar.

Población:

Muestra:

C.       El gobierno de un país busca conocer las condiciones económicas de la población. Para esto, elabora un cuestionario para que algunos hogares lo respondan.

Población:

Muestra:

1.       2. La audiencia que tienen los programas de televisión se llama rating. Como la cantidad de personas en un país es muy grande, la medición del rating se hace con base en una muestra de aproximadamente el 0,01% del total de habitantes del país. Si un país tiene 50 millones de habitantes ¿cuántas personas representan la muestra que se toma?

TALLER: POBLACIÓN Y MUESTRA Desarrollar el taller y enviar al correo de matemáticas

TABLAS DE FRECUENCIA

Distintos Tipos de Frecuencia:

Una de los primeros pasos que se realizan en cualquier estudio estadístico es la tabulación de resultados, es decir, recoger la información de la muestra resumida en una tabla en la que a cada valor de la variable se le asocian determinados números que representan el número de veces que ha aparecido, su proporción con respecto a otros valores de la variable, etc. Estos números se denominan frecuencias: Así tenemos los siguientes tipos de frecuencia

Frecuencia  absoluta:

La frecuencia absoluta de una variable estadística es el número de veces que aparece en la muestra dicho valor de la variable, la representaremos por n_i

Frecuencia relativa:

La frecuencia absoluta, es una medida que está influida por el tamaño de la muestra, al aumentar el tamaño de la muestra aumentará también el tamaño de la frecuencia absoluta. Esto hace que no sea una medida útil para poder comparar. Para esto es necesario introducir el concepto de frecuencia relativa, que es el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño de la muestra. La denotaremos por f_i

Donde N = Tamaño de la muestra

Porcentaje:

La frecuencia relativa es un tanto por uno, sin embargo, hoy día es bastante frecuente hablar siempre en términos de tantos por ciento o porcentajes, por lo que esta medida resulta de multiplicar la frecuencia relativa por 100. La denotaremos por p_i.

Frecuencia Absoluta Acunulada:

Para poder calcular este tipo de frecuencias hay que tener en cuenta que la variable estadística ha de ser cuantitativa o cualitativa ordenable. En otro caso no tiene mucho sentido el cálculo de esta frecuencia. La frecuencia absoluta acumulada de un valor de la variable, es el número de veces que ha aparecido en la muestra un valor menor o igual que el de la variable y lo representaremos por N_i.

Frecuencia Relativa Acunulada:

Al igual que en el caso anterior la frecuencia relativa acumulada es la frecuencia absoluta acumulada dividido por el tamaño de la muestra, y la denotaremos por F_i

Porcentaje Acumulado:

Análogamente se define el Porcentaje Acumulado y lo vamos a denotar por P_i como la frecuencia relativa acumulada por 100.

TABLAS DE FRECUENTA -VIDEO OBSERVA EL VIDEO  

1.      3. Completa la  tabla de frecuencias a partir de los datos del recuadro

                 5, 8, 7, 5,6,

                 7, 5, 8, 7, 7,

                7, 6, 5, 8, 6,

                6, 7, 5 ,8, 6,

                5, 6, 8, 7, 5

 

x	fi	fr	Fp	F
5	7	7/25 =0,28	28%	7
6
7
8

 

Realiza:

1.       Se llama a lista a los políticos asistentes a una plenaria, se toma la lista del partido político al que pertenecen, A, B, C o D y se registran los siguientes datos : D, B, B, A, C, D, B, D,D,D, B, C ,D, A, A, B, C,C,C, D, B, D, A, D, B.

A.      ¿Cuál es el porcentaje del total que está representando cada partido?

x             fi          fr          fp        F

A             4          0,16     16%   4

B              7

C             5

D             9

             25

B.      Si llegan dos representantes más de cada partido político ¿Qué porcentaje de representación tiene ahora cada partido?

2.       Un examen se califica con no aprobó (N), aceptable (A) o excelente (E). Si porcentualmente los que no aprobaron corresponden a más del doble de los que obtuvieron excelente, el profesor repite el examen, las notas obtenidas fueron: N, E, E, N, A, A, N, E, N, N. ¿Se debe repetir el examen?

x       fi

N       5

A       2

E       3

       10

LA POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN NÚMEROS ENTEROS.

 

.Una cadena de mensajes crece triplicándose cada hora. Cuando la persona que recibe replica este mensaje a tres personas más. Calcula la cantidad de personas que tendrán este mensaje al cabo de seis horas. Usa una expresión de potenciación que modele este problema y resuélvelo. __________________

 

2. En una empresa con 1.000 empleados, se envía un mensaje a las 8:00 A.M. Se sabe que a las 9:00 A.M. lo han leído 2 personas y que cada hora se duplica la cantidad de personas que han recibido el mensaje.

La primera hora a la que se puede afirmar que todos han leído el mensaje es a las _____________

 

3.Escribe como potencia los siguientes enunciados:

 

A.      Tres  elevado al cuadrado          _______

B.      Cinco elevado al  cubo                _______

C.       Siete elevado al cuadrado           _______

        Menos seis  elevado a la seis     _______

        Menos dos elevado a la ocho   _______

 

4.Escribe la expresión como potencia en la siguiente situación:

Una bacteria se duplica cada minuto. Si hay inicialmente dos bacterias ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 10 minutos?

 

5.Escribe como raiz los siguientes enunciados

A.      Raíz cuadrada de 49     _____

B.      Raíz cubica de  27        _____

C.      Raíz quinta de 1.024     _____

D.      Raíz  sexta  de  -216     _____

      

TALLER POTENCIACION Y RADICACION

ECUACIONES ADITIVAS Y MULTIPLICATIVAS 

EN LOS NÚMEROS ENTEROS

Una ecuación aditiva es aquella que para resolverla debemos sumar cualquier número entero. Ej: x+3=4 Para ir despejando "x" debemos sumar (-3) a ambos miembros de la igualdad.

Si se agrega (suma) un número a la derecha, también es necesario sumar el mismo número a la izquierda para mantener la igualdad y si se resta, debe hacerse lo mismo a ambos lados.  Lo mismo ocurre al multiplicar o dividir .

 

Debemos saber que existen ecuaciones de dos tipos: ecuaciones aditivas y ecuaciones multiplicativas.

· Las ecuaciones aditivas tienen la forma a + x = b

· Las ecuaciones multiplicativas tienen la forma a · x = b

Ejemplo:                   28 + x = 13   – 28

El número que acompaña a la incógnita sumándolo es 28, por lo tanto, se debe agregar a ambos lados de la ecuación su inverso aditivo que es –28.

28 + x + – 28 = 13 + – 28

Como 28 y –28 tienen signo contrario entre sí, la regla de signos indica que deben restarse.

28 + –28 = 0

Como 13 y –28 son números de distinto signo, éstos se restan y se conserva el signo del número con mayor valor absoluto (el número sin signo).

13 + –28 = –15

2) Ecuaciones multiplicativas: a • x = b

Para resolver ecuaciones de la forma a · x = b se aplica la propiedad de las igualdades , que dice textualmente:

Cuando se tiene una ecuación de esta forma, en la cual un número se halla multiplicando a la incógnita, se debe dividir a ambos lados de la ecuación por dicho número.

Los pasos son los siguientes:

1) Se divide siempre por el número que multiplica a la “x”. (Al dividir se utiliza el inverso multiplicativo del número).

Ejemplo:    15 • x   =   75  /  :15   (es lo mismo que multiplicar ambos miembros por 1/15, que es el inverso multiplicativo de 15)

15 • x : 15   =   75  : 15

2) Se realizan las operaciones matemáticas correspondientes.

Reordenado los números se tiene:    15 : 15 • x  =   75  : 15

1 • x     =    5

x     =     5

Se proponen los siguientes ejercicios

 

1.     1. Completa la tabla

 

Expresión	Número de términos	Lista de términos
4x – 2y	2	4x , – 2y
9z
5x + 4y - 6
-9 + 7 x
4x + 6y -11 +b
5x + 4y – 2z

 

 

2.    2. Escribe la ecuación que representa cada expresión en lenguaje natural asignando letras           para las incógnitas

 

A.     a) El doble de un número menos el triple de otro número.

B.     b) Un número aumentado en trescientos

C.     c) El producto de dos números menos el producto de otros dos números.

D.     d) Un medio de un número es igual al mismo número disminuido en cinco unidades.

 

3.Resuelve las siguientes ecuaciones

     7x + 8 = 6x -7

     -3x -5 = x – 21

      5x – 10 = 10

     –x – 1 = 2x

      20x = 50

      3x + 2x = 3

     2x  +  2x  - 3y = 6

        5x + 8 = 5x -7

           4x + 2x = 24

          100x = 50x

          –3x – 1 = 2x

 

 4.Cesar necesita tomar en arriendo un local con forma rectangular y con un perímetro de 26 metros y con 4 metros de ancho. El arriendo del local depende del área que cubra éste en metros y donde el metro cuadrado tiene un valor de $300.000 ¿Cuál será el costo del arriendo del local que necesita Cesar?

 

5.Dos hermanas compraron la misma cantidad de cierta moneda extranjera, a una de las hermanas le vendieron cada moneda a un costo de $40 la unidad, mientras que a la otra hermana le cobraron a $30 cada una. Si la diferencia de lo que pagaron las dos hermanas fue de $15.000 ¿Cuántas unidades de moneda extranjera compró cada una?